Анализ       Справочники       Сценарии       Рефераты       Курсовые работы       Авторефераты       Программы       Методички       Документы     опубликовать

Складні відсотки 11 11 Нарахування складних річних відсотків




Скачать 280.78 Kb.
НазваниеСкладні відсотки 11 11 Нарахування складних річних відсотків
Дата02.12.2012
Размер280.78 Kb.
ТипДокументы
1. /finansova_statistika_shustikov/Dodat.doc
2. /finansova_statistika_shustikov/Liter.doc
3. /finansova_statistika_shustikov/R-7-8.doc
4. /finansova_statistika_shustikov/R_1-2.doc
5. /finansova_statistika_shustikov/R_11-12.doc
6. /finansova_statistika_shustikov/R_13-15.doc
7. /finansova_statistika_shustikov/R_3-4.doc
8. /finansova_statistika_shustikov/R_5-6.doc
9. /finansova_statistika_shustikov/R_9-10.doc
10. /finansova_statistika_shustikov/Tityl.doc
11. /finansova_statistika_shustikov/Zmist.doc
Додаток 1 коефіцієнти нарощення
Практикум по финансово-банковской статистике. К., 1989. Уманец Т. В. Финансово-банковская статистика. К., 1992
Платіжного балансу 7 Предмет І завдання статистики платіжного балансу
Фінансової статистики 1 Предмет фінансової статистики
Складні відсотки 11 11 Нарахування складних річних відсотків
Фінансові ренти 13 13 Потоки платежів І фінансові ренти
Статистика страхування 3 Поняття страхування І завдання його статистичного вивчення
Статистика грошового обігу 5 Поняття І соціально-економічне значення статистики грошового обігу
Підприємств 9 Цілі та методи статистичного аналізу фінансового стану підприємств
Рішення щодо розвитку фінансової сфери
1. предмет, метод І завдання фінансової статистики

СКЛАДНІ ВІДСОТКИ


11

11.1. Нарахування складних
річних відсотків


У довгострокових фінансово-кредитних операціях, якщо відсотки не виплачуються відразу після їх нарахування, а приєднуються до суми боргу, для нарощення суми позички застосовуються складні відсотки. База для їх нарахування не залишається постійною; вона збільшується з кожним кроком у часі на величину приєднаних відсотків, нарахованих у поперед­ньому періоді, а процес зростання початкової суми позички прискорюється.

Приєднання нарахованих відсотків до суми, яка була базою для їх визначення, називають капіталізацією відсотків.

Якщо відсотки нараховуються один раз наприкінці року, то в кінці першого року нарощена сума дорівнює Р + Р · і, в кінці другого року — Р (1 + і) + Р (1 + і) і = Р (1 + і)2, до кінця третього року — Р (1 + і)3. Цей ряд являє собою геометричну прогресію Р, Р (1 + і), Р (1 + і)2, Р (1 + і)3, … , перший член якої дорівнює почат­ковій величині позички Р, а знаменник — (1 + і).

Нарощена сума — це член геометричної прогресії у відповідному році нарощення. Для n-го року нарощення член геометричної прогресії матиме вигляд Р (1 + і)n, який відповідає нарощеній сумі наприкінці строку позички.

Отже, нарахування складних відсотків здійснюється за такою формулою:

,

де S — нарощена сума платежу (боргу), P — початкова сума боргу, i — складна відсоткова ставка, n — число періодів нарахування відсотків.

Величину (1 + і)n називають множником нарощення. Значення множника нарощення для цілих чисел n і і наведено в додатку 1.

Приклад 1. Кредит надано в сумі 1000 грн. на 5 років за складною ставкою відсотків 10 % річних. Визначити, яку суму повинен повернути боржник наприкінці строку позички.

Розв’язання: S = P (1 + i)n = 1000 (1 + 0,1)5 = 1610,5 грн.

Якщо передбачаються зміни у часі, але застосовуються фіксовані (змінні) ставки відсотків, то формула нарощення за складними відсотками матиме такий вигляд:

S = P (1 + i1)n1(1 + i2)n2… (1 + ik)nk,

де i1, i2,..., ik — послідовні значення ставок відсотків; n1, n2,...,nk — періоди, протягом яких здійснюється нарахування за відповідними ставками.

Приклад 2. Відсоткова ставка за позичкою визначена на рівні 8,5 % плюс надбавка 0,5 відсоткових пункта в перші два роки і 0,75 відсоткових пункта — у наступні три роки.

Розв’язання: Множник нарощення у даному разі буде 1,0921,09253 =
= 1,549.

Швидкість зростання за складними
і простими відсотками


Використання у фінансових розрахунках прос­тих і складних відсотків дає неоднакові результати, відмінність між якими зумовлена строками позичок. Співвідношення значень множників нарощення дає можливість порівняти процеси нарощення за різними ставками відсотків, але при абсолютно однакових величинах.

Процес нарощення боргу за складною ставкою відсотків відбувається швидше, ніж за простою ставкою відсотків, коли строк нарахування перевищує рік (n > 1). Якщо строк користування грошима n  1, то прості відсотки дають більший результат. Це випливає також з математичного доведення нерівностей: якщо n > 1, то 1 + inn < (1 + ic)n; n = 1, то 1 + inn = (1 + ic)n; якщо n < 1, то 1 + inn > (1 + ic)n. При цьому слід враховувати однакову базу року у розрахунках.

Графічно процеси нарощення за складними та простими відсотками зображено на рис. 11.1.



Рис. 11.1. Процеси нарощення за складними
та простими відсотками

Криві нарощення за простими та складними відсотками перетинаються в точці, де строк позички дорівнює одному року або одному періоду нарахування відсотків, тобто n = 1 1 + inn = (1 + ic)n. Порівнюючи процеси нарощення за складними та простими ставками відсотків можна дійти висновку, що прості відсотки кредитору вигідно застосовувати при наданні короткострокових позичок, а складні — при наданні довгострокових.

Формули подвоєння

Іноді виникає ситуація, коли ми маємо певну суму грошей, але потрібна в майбутньому сума грошей в n разів більша. Необхідно визначити, за скільки років (періодів) початкова сума збільшиться у n разів, якщо відома величина банківського відсотка та умови інвестування грошей. Для того, щоб розв’язати цю задачу, використовують так звані формули подвоєння, які допомагають визначати кількість років, за які початкова сума позички збільшиться у 2 (або в n) разів.

Загальний випадок, коли необхідно визначити число років, протягом яких початкова сума збільшиться в n разів:

а) для простих відсотків (1 + nin) = N ;

б) для складних відсотків (1 + ic)n = N .

N = 2;

а) подвоєння за простими відсотками:



б) подвоєння за складними відсотками:

.

Нарахування відсотків
при дрібному числі років


У випадках, коли n не є цілим числом, тобто складається з цілої й дробової частин, нарощення визначається двома способами: за формулою нарощення складних відсотків і на основі змішаного методу, згідно з яким за ціле число років нараховуються склад­ні відсотки, а за дробове — прості:

S = P (1 + i)a(1 + bi),

де n = a + b, a — ціле число років, b — дробова частка року.

Приклад 3. Кредит у розмірі 30 тис. грн. надано на строк 3 роки і 160 днів. Якщо обумовлена в контракті ставка дорівнює 6,5 % і перед­бачено змішаний метод нарахування відсотків, то сума боргу на кінець строку становитиме:

S = 30000 1,0653(1 + 160/365 0,065) = 37271 грн.

За формулою нарощення складних відсотків

S = 30000 1,0653 1.065160/365 = 37252 грн.

11.2. Номінальна та ефективна
ставки відсотків


Як правило, прийнято капіталізувати відсотки не раз, а кілька разів на рік. Число разів нарахування відсотків на рік позначимо літерою m. Річна ставка відсотків, яка називається номінальною, позначається j. Тоді в кожному окремому періоді нараховується j/m — ставка відсотків. Нарощену суму визначають за формулою:

S = P (1 + j/m)mn.

Приклад 4. Кредит надано в розмірі 1000 грн. на 5 років під 12 % річних. Відсотки на суму боргу нараховуються щомісячно. Необхідно визначити величину боргу наприкінці строку позички.

Розв’язання: S = P (1 + j/m)mn = 1000 (1 + 0,12/12)12·5 = 1816,7 грн.

Збільшення m призводить до більш швидкого процесу нарощення. Це відбувається тому, що відсотки нараховуються частіше і реальний відносний дохід, який отримує кредитор, виявляється більшим, ніж номінальна ставка відсотків. Для того, щоб виміряти ефективність цієї операції, використовують ефективну, або дійсну, ставку відсотків, яка відображає той реальний дохід, який одержують від однієї грошової одиниці на рік. Ця ставка також показує, яка річна ставка надає той самий фінансовий результат, що і m-разові нарахування на рік за ставкою j/m.

Ефективну ставку можна знайти, виходячи з її визначення. Оскільки вона призводить до того ж фінансового результату, що і ставка j/m при m-разовому нарахуванні відсотків на рік, то множники нарощення по цих ставках повинні бути рівні.

Отже, можна записати таке рівняння:

(1 + і)n = (1 + j/m)n·m.

Звідси — ефективна ставка відсотків визначається за такою формулою:

I = (1 + j/m)m – 1.

Приклад 5. Номінальна ставка 6 % річних, відсотки нараховуються кожні півроку. Визначити ефективність цього процесу нарощення.

Розв’язання: i = (1 + j/m)m – 1 = 1,032 – 1 = 6,09 %.

Це означає, що позичка, яка надана під 6 % річних за умови, що відсотки нараховуються два рази на рік, принесе кредитору відносний дохід у розмірі 6,09 % на рік. Заміна в договорі номінальної ставки j при нарахуванні відсотків m разів на рік на ефективну ставку i не змінює фінансових зобов’язань сторін, які беруть участь у договорі, тобто учасникам фінансової угоди байду­же, яку використовувати ставку: або 6,09 % при нарахуванні відсотків один раз на рік, або 6 % при нарахуванні відсотків один раз на рік.

Якщо необхідно визначити на основі ефективної номінальну ставку, то можна використати таку формулу:

j = m ((1 + i)1/m – 1).

Ця ситуація може виникнути тоді, коли кредитор хоче отримати дохідність за рік у розмірі і і нараховуються відсотки m разів на рік. Тоді йому необхідно проставити в угоді річну ставку відсотків j.

11.3. Облік (дисконтування)
за складною ставкою відсотків


У фінансовій практиці досить часто зустрічаються із завданням зворотного визначення нарощеної суми: за заданою сумою S, яку слід заплатити через деякий час n, необхідно визначити суму P. Ця ситуація виникає, коли відсотки утримаються безпосередньо при видачі позички. В даному разі кажуть, що сума S дисконтується. Різницю S – P = D називають дисконтом.

Розрізняють два методи дисконтування — математичне дисконтування і банківський облік.

Математичне дисконтування застосовують у тих випадках, коли за заданими S, n та i необхідно знайти P:

,

де — множник дисконтування.

Величину P, якщо вона визначена за S, називають дисконтованою величиною S, або сучасною величиною платежу S, або теперішньою вартістю.

Величину V n називають обліковим, або дисконтованим, множником.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік, формула матиме такий вигляд:

.

Дисконтний множник дорівнює

.

Приклад 6. Необхідно визначити, яку суму треба покласти на рахунок у банк, що нараховує 10 % річних за складною ставкою відсотків, щоб через 5 років отримати суму в 1000 грн.

Розв’язання: грн.

Величина P характеризує ту початкову суму, нарахування відсотків на яку дає величину S. Суми P i S пов’язані між собою строком і відсотковою ставкою та еквівалентні: платіж S через n років рівноцінний сумі P, яка виплачується в теперішній час. Різницю S – P називають дисконтом.

Di = SP = S(1 – V n); Dj = SP = S (1 – V mn).

Властивість сучасної величини полягає в тому, що чим вища ставка відсотків, тим сильніше дисконтування і більшою мірою зменшується P за всіх інших рівних умов.

Вплив строку платежу:



Співвідношення дисконтних множників (проста й складна відсоткові ставки):

для строку менше за рік — (1 + nin)–1 < (1 + ic)n;

для строку більше за рік (1 + nin)–1 > (1 + ic)n.

11.4. Операції зі складною
обліковою ставкою


Коли в практиці облікових операцій використовують складну облікову ставку, то процес дисконтування здійснюється з уповіль­ненням, адже на кожному кроці в часі облікова ставка застосовується не до початкової суми, а до суми, зменшеної на величину дисконту, визначеного на попередньому кроці. Дисконтування за складною обліковою ставкою здійснюється за формулою:

P = S (1 – dc)n,

де dc — складна облікова ставка; S — сума майбутніх платежів, на яку нараховується відсоткова ставка; (1 – dc)n — множник дисконтування.

Дисконт у такому разі:

Dd = SS (1 – dc)n = S (1 – (1 – dc)n).

Приклад 7. Якою буде сума дисконту при продажу фінансового інструменту на суму 5000 грн., якщо строк його погашення становить 5 років, а покупець використав складну річну облікову ставку, яка дорівнює 8 %?

Розв’язання: P = S (1 – d)n = 5000 (1 – 0,08)5 = 4059 грн.

Дисконтування за складною обліковою ставкою зумовлює вигідніший для боржника результат, ніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою, оскільки боржник отримає більшу велику суму Р.

Дисконтування m разів на рік


У такому разі використовують номінальну облікову ставку f. У кожному періоді дисконтування здійснюється за ставкою f/m:

P = S (1 – f/m)mn,

де mn — загальна кількість періодів дисконтування.

Дисконтування не один, а m разів на рік уповільнює цей процес і зменшує суму дисконту за всіх інших рівних умов. Дисконтування за складною обліковою ставкою призводить до результату, який вигідніший для боржника, ніж при дисконтуванні за простою обліковою ставкою.

Під ефективною обліковою ставкою розуміють складну річну облікову ставку, еквівалентну номінальній при заданому значенні числа дисконтування на рік:



Ефективна облікова ставка менша за номінальну.

Нарощення за складною обліковою ставкою:

;



11.5. Порівняння інтенсивності
процесів нарощення і дисконтування
за різними відсотковими ставками


Для розрахунку нарощеної суми і дисконтування використовувались різні види відсоткових ставок: in, i, j, d, dc, f. За однакових умов угоди їх використання призведе до різних результатів. Треба порівняти результати нарощення і дискон­тування за різними видами відсоткових ставок. Для розв’язання цього завдання достатньо порівняти множники нарощення і дисконтні множники.

Результати порівняння залежать від числа періодів нарахування відсотків:

для множників наростання —

n < 1 (1 + i)n < (1 + in) < (1 – nd)–1< (1 – d)n;

n > 1 (1 + ni) < (1 + i)n < (1 – d)n < (1 – nd)–1;

n = 1 (1 + in) = (1 + i)n < (1 – d)n = (1 – nd)–1;

для дисконтних множників —

n < 1 (1 – d)n < (1 – nd) < (1 + in)–1 < (1 + i)n;

n > 1 (1 – nd) < (1 – d)n < (1 + i)n < (1 + in)–1;

n = 1 (1 – nd) = (1 – d)n < (1 + i)n = (1 + in)–1.

11.6. Визначення строку платежу
і рівня відсоткових ставок


У ряді випадків, головним чином при розроб­ці умов фінансових операцій, зустрічаються з необхідністю роз­в’язання зворотних задач — визначення довготривалості позичок, числа періодів нарощення, ставки відсотків або облікової ставки.

Знаходження відсоткових ставок

1. Для простої відсоткової ставки:



2. При нарощенні за складною річною ставкою:



3. При нарощенні за номінальною ставкою відсотків m разів на рік:



4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:



5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:



6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою m разів на рік:



Визначення строку позички

1. За простою ставкою відсотків:



2. За складною ставкою відсотків:



3. При нарощенні за номінальною ставкою відсотків j/m разів на рік:



4. При дисконтуванні за простою обліковою ставкою:



5. При дисконтуванні за складною обліковою ставкою:



6. При дисконтуванні за номінальною обліковою ставкою m разів на рік:



Приклад 8. В умовах випуску сертифікатів (номіналом 1000 грн.) були передбачені викупні суми, які залежать від строку зберігання: при п’ятирічному терміні виплачувалось 1415 грн., десятирічному — 2595 грн. Які значення річних складних ставок відсотків, котрі дають таке нарощення?

Розв’язання: i = (S/P)1/n – 1 = (1415/1000)1/5 – 1 = 0,07189;

i = (2595/1000)1/10 – 1 = 0,1.

Приклад 9. Вексель виписаний на строк 2 роки. Якою повинна бути складна облікова ставка, щоб при обміні векселя власник отримав 90 % його суми?

Розв’язання: P/S = 0,9 n = 2 dc = 1 – (P/S)1/n = 1 – = 0,0513.

Приклад 10. Кредит надано у сумі 1000 грн. за ставкою складних відсотків 10 % річних. Боржник повинен у кінці строку позички повернути 1200 грн. Необхідно визначити, на який строк було надано кредит.

Розв’язання: року.

11.7. Нарощення відсотків та інфляція

При визначенні нарощеної суми грошей, а також реальної ставки відсотків необхідно враховувати розмір інфляції. Основним показником, що характеризує динаміку інфляційних процесів, є індекс купівельної спроможності грошей:

, тоді ,

де — реальна нарощена сума, S — нарощена сума за n років.

,

де  — темп інфляції.

.

Приклад 11. Чому дорівнюватиме сума в 1000 грн. через 10 років за умови, що на цю суму нараховуються 6 % річних? Якою буде її реальна купівельна спроможність, якщо приріст цін в середньому дорівнюватиме 3 % (перший варіант) і 8 % (другий варіант)?

Розв’язання: S = 1000 · 1,0610 = 1790,8.

Отже,

перший варіант: грн.;

другий варіант: грн.

Основні категорії та поняття


Складні відсотки

Капіталізація відсотків

Номінальна ставка відсотків

Ефективна ставка відсотків

Ефективна облікова ставка

Нарощення за складними відсотками

Запитання і завдання для самоконтролю


1. Що вимірюють ефективні ставки відсотків:

а) реальний відносний дохід, який отримають у цілому за рік;

б) реальний абсолютний дохід, який отримають у цілому за рік;

в) дохід від вкладених коштів, який визначається за річною ставкою відсотків;

г) нічого з викладеного?

2. Які з наведених співвідношень неправильні:

а) при n < 1;

б) при n > 1;

в) при n < 1;

г) при n > 1?

3. Яка з нижченаведених формул є формулою подвоєння за простими відсотками:

а) б)

в) г)

4. Яка з наступних формул є дисконтним множником:

а) б)

в) г)

5. Яка з наведених формул лежить в основі змішаного методу нарахування відсотків:

а) S = P(1 + i)n (1 + ni); б) S = P(1 + ai) (1 + bi);

в) S = P(1 + i)a (1 + bi); г) S = P(1 + i)n (1 + bi)?

6. В якій з наведених формул є помилка:

а) б)

в) г)

7. Що таке складні відсотки?

8. У чому полягає суть капіталізації відсотків?

9. Чому нарахування складних відсотків при довготермінових фінансово-кредитних операціях вигідніше кредитору, ніж нарахування простих відсотків?

10. Яка ставка називається номінальною?

11. Для чого використовується ефективна ставка відсотків?

12. Сторони домовились про те, що із суми кредиту, виданого на 210 днів, відраховується дисконт у розмірі 12 %. Необхідно визначити ціну кредиту у вигляді простої облікової ставки.

13. Первісна сума боргу 100 грош. од. Строк позички 3 роки. Ставка відсотків 8 %. Відсотки капіталізуються 4 рази на рік. Визначити величину відсотка.

14. Визначити очікувану величину компенсації, якщо передбачається видати позичку в розмірі 100 грош. од. на строк 3 роки при ставці 2 % річних, а передбачуваний темп інфляції 3 %.

15. Зобов’язання 50 грош. од. повинно бути погашено через 4 роки, облікова ставка 12 %. Нарахування дисконту щоквартальне. Знайти розмір дисконту.

16. Позичка видана в розмірі 100 грош. од. під 6 % річних. Сторони домовились, що через деякий час боржник поверне кредитору суму в розмірі 150 грош. од. Визначити, через який строк він повинен повернути свій борг.

17. Визначити, яку величину повинна складати номінальна ставка відсотків, якщо сума позички має подвоїтися за 4 роки, а відсотки нараховуються за кожні півроку.

18. Визначити реальну суму відсотків, якщо первісна сума боргу дорівнює 100 грош. од., строк 3 роки, відсоткова ставка 3 %, а темп інфляції 2 % на рік.

19. Зобов’язання, що дорівнює 1000 грн., повинно бути погашено через 5 років, облікова ставка — 5 %, нарахування поквартальне. Знайти сучасну величину зобов’язання, розмір дисконту, ефективну облікову ставку.

20. Первісна сума боргу 4500 грн. Строк позички 2 роки. Відсотки капіталізуються щомісяця. Номінальна ставка відсотків — 0,08. Визначити відсоток та еквівалентну номінальній ефективну ставку відсотків.

21. Позичка в 1500 грн. надана на строк 4 роки за номінальною ставкою відсотків 6 % річних. Відсотки капіталізуються поквартально. Якщо протягом перших 4 років позичка не виплачується, то номінальна ставка підвищується на 3 відсоткових пункти. Строк погашення — 6 років. Визначити суму накопиченого боргу і відсоток.





ЕКВІВАЛЕНТНІСТЬ
ВІДСОТКОВИХ СТАВОК


12

12.1. Поняття еквівалентності
відсоткових ставок


Від вибору виду відсоткової ставки залежить фінансовий результат кредитних угод. Різні за змістом відсоткові ставки, але однакові за величиною дають різні відсоткові суми грошей при однакових усіх інших параметрах. Якщо різнорідні відсоткові ставки в конкретних умовах угоди призводять до одного й того самого фінансового результату, то в даному разі вони є еквівалентними. Тобто еквівалентними називаються різні за видом відсоткові ставки, які у фінансових операціях дають однакові кін­цеві результати.

Принцип еквівалентності ставок використовується при порівнянні ставок, які застосовуються в різноманітних угодах, визначенні ефективності фінансово-кредитних операцій, беззбитковій заміні одного виду відсоткових ставок іншими. Для сторін, які укладають фінансовий контракт, не має важливого значення, яка з еквівалентних ставок фігуруватиме в угоді.

Система еквівалентних ставок складається з таких елементів:

  • еквівалентність простих ставок;

  • еквівалентність простих і складних ставок;

  • еквівалентність складних ставок;

  • еквівалентність дискретних і безперервних ставок.

Виведення формул еквівалентності ставок у всіх випадках базується на рівності взятих попарно відповідних множників нарощення.

Розглянемо умови, за яких нарощення відсотків за простою ставкою відсотків (і) призведе до таких самих результатів, що і нарахування цих грошей за простою обліковою ставкою (d) при зафіксованих однакових початковій величині (Р) і строках (n). Очевидно, має виконуватися умова, за якої нарощені суми для цих відсоткових ставок будуть однакові, тобто S1 = S2, де S1 — це нарощена сума, при визначенні якої використовувалась проста ставка відсотків (i), а S2 — це нарощена сума, при визначенні якої використовувалась проста облікова ставка (d). Прирівняємо множ­ники нарощення за цими ставками (1 + in) = (1 – nd)–1. З цього
рівняння можна вивести співвідношення між простою ставкою відсотків і простою обліковою ставкою. Формула простої ставки відсотків, що еквівалентна простій обліковій ставці, буде такою:



Формула простої облікової ставки, що еквівалентна простій ставці відсотків, має такий вигляд: .

Використовуючи ці формули, можна за заданою простою став­кою відсотків знайти еквівалентну просту облікову ставку, і навпаки. Так, при операціях з векселями використовують просту облікову ставку, але вона не показує ефективність і прибутковість цієї фінансової операції. Для того щоб визначити, який отримано відносний дохід, необхідно знайти ставку відсотків, що, як правило, використовується як показник прибутковості і є еквівалентною простій обліковій ставці.

Приклад 1. Необхідно визначити облікову ставку, яка еквівалентна простій ставці відсотків і дорівнює 10 %.

Розв’язання: , або 9,09 %.

Таким чином, операція, в якій фігурує облікова ставка 9,09 %, приносить для річного періоду такий самий фінансовий результат, що й проста річна ставка відсотків, яка дорівнює 10 % річних. Ця ситуація може виникнути тоді, коли банк за нормою позичкового відсотка хоче розрахувати еквівалентну просту облі­кову ставку для обліку векселів.

Приклад 2. Банком був придбаний вексель за 60 днів до його погашення. Облікова ставка при покупці векселя становила 10 %. Необхідно визначити ефективність купівлі векселя.

, або 10,2 %.

Ця операція принесла банку 10,2 % річного доходу.

Прості відсоткові ставки використовуються переважно при короткострокових фінансових операціях (n  1), тож термін (n) необхідно замінити відношенням g/K, де g — це кількість днів користування грошима, а К — кількість днів у році (база року). Тут слід врахувати, що база року (К) набуває різних значень (360, 365, 366 днів). Відповідно еквівалентність простих ставок визначатиметься за двох умов: коли бази року приймаються однаковими і коли використовуються різні бази року (К). Для однакових баз року застосовуються такі формули:

Якщо К = 360 днів, то ; .

Якщо К = 365 днів, то ; .

Якщо бази року для ставок будуть різними, тобто база року для ставки відсотків — 365 днів, а для облікової ставки — 360 днів (це особливість банківського обліку), тоді використовують такі формули:

; .

Приклад 3. Необхідно визначити просту облікову ставку таким чином, щоб операція обліку принесла 20 % доходу на рік, якщо строк позички 60 днів, а база для нарахування простих ставок відсотків 365 днів, а для простих облікових ставок 360 днів: , тобто d = 19 %.

Формули еквівалентності простих ставок відсотків та облікових ставок свідчать про те, що за однакових умов позички проста облікова ставка буде завжди менше за просту ставку відсотків, якщо ці ставки еквівалентні. Причому різниця між цими ставками залежить від строку позички: чим більший строк фінансової угоди, тим різниця між простою ставкою відсотків (і) та простою обліковою ставкою (d) збільшується, і навпаки — для невеликих значень строку фінансової угоди різниця між (і) і (d) менш відчутна.

Слід пам’ятати, що для порівняння дохідності найрізноманітніших фінансових операцій необхідно використовувати річну ставку відсотків, яка показує річну дохідність будь-якої короткострокової фінансової операції (частку річного прибутку), тоді як проста облікова ставка слугує лише математичним засобом для розрахунку дисконту. Якщо це необхідно зробити в операціях обліку, обчислюють еквівалентну річну просту ставку відсотків.

Розглянемо формули еквівалентності для простих і складних ставок відсотків. Нарощення початкової суми (Р) за цими ставками проводиться за формулами Sп = P(1 + iпn) для простої ставки та Sс = P (1 + iс)n для складної ставки.

Якщо iп та iс еквівалентні, то повинна виконуватись умова Sп = Sс.

Звідси — рівність множників нарощення (1 + iпn) = (1 + iс)n.

Зв’язок між еквівалентними ставками відсотків визначається за такими формулами:



Ці формули дозволяють при зміні виду ставки зберегти кінцеві фінансові результати, скоригувавши ставку відсотків за величиною.

Приклад 4. Кредит одержано під 10 % річних. Визначити рівень простої ставки відсотків при строках: а) 5 років; б) 5 місяців.

Розв’язання:

а) , або 12,2 %;

б) , або 9,72 %.

Приклад 5. Фінансові відносини сторін не змінюються і в договорі обумовлена проста ставка відсотків 10 %. Визначити річну ставку склад­них відсотків. Строк договору 2 роки.

Розв’язання: , або 9,5 %.

Заміна в договорі ставки простих відсотків у розмірі 10 % на складну ставку відсотків у розмірі 9,5 % не змінить фінансових відносин сторін, що беруть участь у договорі.

Якщо еквівалентна простій ставці складна ставка нараховується m разів на рік, тоді



Еквівалентність простої облікової ставки й ставки складних відсотків матиме вигляд:



Приклад 6. Строк оплати за векселем настає через 60 днів. Вексель обліковується за простою обліковою ставкою 10 % річних (часова база 360 днів). Визначити ефективність даної угоди. За показник ефективності взяти річну складну ставку відсотків.

Розв’язання: , або 10,6 %.

Нехай складні відсотки нараховуються m разів на рік, тоді при рівних часових базах нарахування відсотків таке:



Еквівалентність складних відсоткових і складної облікової ставки:



12.2. Середні відсоткові ставки

Якщо відсоткові ставки змінюються з часом, то еквівалентна їм ставка являє собою середню ставку, що приносить за певний період такий самий дохід. Дану середню знай­демо на основі рівності відповідних множників нарощення. Нехай за періоди n1, n2, ..., nk, нараховуються прості відсотки за ставками i1, i2, ..., ik:

де

отримаємо еквівалентну ставку:



Знайдена характеристика являє собою середню зважену ариф­метичну величину з вагами, що відповідають тривалості окремих інтервалів. Ставка i0 дає такий самий дохід за час N, що й сукупність ставок, які змінюються за відповідні періоди. Аналогічно для простих облікових ставок d1, d2, .., dk знаходимо їх середню d0:



Приклад 7. У контракті передбачається нарахування простих відсотків у таких розмірах:

Періоди

Відсоткові ставки

nt (у роках)

nt it

1

0,2

1,5

0,3

2

0,3

1,0

0,3

3

0,4

2,0

0,8

Усього




4,5

1,4

Необхідно знайти еквівалентну цим умовам ставку за умови, що Р = 500.

; S = 500 (1 + 4,5 · 0,3111) = 1199,9 грн.

Якщо нарахування відсотків виконується на основі послідовних фіксованих ставок складних відсотків i1, i2, ..., ik, які нараховуються в інтервалах, що дорівнюють n1, n2, ..., nk одиниць часу, то

.

Отриманий вираз являє собою зважену середню геометричну без одиниці, в якої вагами є тривалість періодів нарахування.

Приклад 8. За контрактом була видана позичка в розмірі 1000 грн. Контракт було укладено на 4 роки. У перші два роки передбачалося нарахування відсотків за ставкою 10 % (складні річні відсотки), у наступні два роки — за ставкою 20 %. За згодою сторін було вирішено замінити всі ставки відсотків однією, не змінивши при цьому фінансових відносин сторін.

Розв’язання: , або 14,9 %.

Якщо в угоді були б використані прості ставки відсотків, тоді еквівалентна їм середня проста ставка відсотків дорівнювала б:

, або 15 %.

Заміна у фінансовій угоді ставок складних відсотків 10 % і 20 % за відповідні періоди часу на ставку 14,9 % або заміна ставок простих відсотків 10 % і 20 % на ставку 15 % не змінює фінансових відносин сторін. Учасникам фінансової угоди байдуже, які з цих ставок використовувати — вони призводять до однієї і тієї ж нарощеної суми.

12.3. Зміна умов контракту.
Фінансова еквівалентність зобов’язань


На практиці нерідко зустрічаються випадки, коли необхідно замінити одне фінансове зобов’язання іншим (на­приклад, з віддаленішим строком платежу), об’єднати кілька зобов’язань в одне (консолідувати платежі) тощо. Принцип, виходячи з якого, мають змінювати умови контрактів, називається фінансовою еквівалентністю зобов’язань. Принцип фінансової екві­валентності полягає в тому, що за будь-якої заміни умов контрактів фінансові зобов’язання до і після вказаних змін залишаються однаковими, тобто зберігається незбитковість для обох сторін.

Варіанти заміни одного фінансового зобов’язання іншим:

1) переноситься дата погашення боргу (відстрочка платежу або дострокове погашення);

2) один платіж замінюється кількома з різними термінами сплати;

3) кілька платежів замінюються одним, при цьому переносять кінцеву дату погашення.

Еквівалентними вважаються такі платежі, які за умови зведення за заданою відсотковою ставкою до одного моменту часу є рівними. Приведення різночасових виплачуваних сум грошей здій­снюється шляхом дисконтування (приведення до попередніх дат) або, навпаки, нарощення, якщо ця дата належить до майбутнього.

Принцип фінансової еквівалентності лежить в основі формул нарощення і дисконтування, який пов’язує величини P i S. На цьому принципі базується порівняння різночасових платежів. Не­хай є платежі S1 i S2 зі строками n1 i n2, початок відрахунку строку припадає на один день. Ці платежі еквівалентні, якщо їх сучасні величини, розраховані за однією й тією самою ставкою, рівні.

Приклад 9. Мають місце два зобов’язання. Умови першого: S1 =
= 400 тис. грн., n1 = 4 місяця. Умови другого: S2 = 420 тис. грн., n2 = 9 місяців. Чи можна вважати їх рівноцінними? Якщо дисконтувати ці платежі на початок строку за ставкою простих відсотків і = 0,1, отримаємо:

тис. грн.;

тис. грн.

P1 < P2, отже, ці зобов’язання нееквівалентні.

Основний метод при вирішенні фінансової еквівалентності зобов’язань полягає в розробці рівняння еквівалентності, в якому сума платежів, що замінюються, приведені до якого-небудь одного моменту, прирівняні до суми платежів за новим зобов’язан­ням, приведеним до тієї самої дати.

Як правило, розглядається дві постановки задачі щодо зміни умов контрактів:

1) консолідування (об’єднання) заборгованості;

2) збалансування змін строків платежів.

Консолідуванням заборгованості називається об’єднання кіль­кох боргових зобов’язань в одне, а розмір об’єднаного платежу має назву консолідованого платежу.

Нехай платежі S1, S2, ...., Sn зі строками відповідно n1, n2, ..., nm об’єднуються в один у сумі S0 i строком n0. Сума консолідованих платежів за умови, що n0 > n1, n2, ..., nm, для простої ставки відсот­ків складає де tj — часовий інтервал між строками n0 i nj, tj = n0nj.

Для простої облікової ставки:



для складної ставки відсотків:



для складної облікової ставки:



Приклад 10. Два платежі: S1 = 100 тис. грн. і S2 = 50 тис. грн. зі строками 150 і 180 днів (що відраховуються від однієї бази) замінюються одним — зі строком 200 днів. Якщо сторони домовились на зміну при використанні простої відсоткової ставки, що дорівнює 6 % річних, то

тис. грн.

У загальному випадку величину S0 знаходимо як суму нарощених або дисконтованих платежів Sj:



де Sj — сума об’єднаних платежів зі строками nj, nj < n0; Sk — сума платежів, які об’єднуються зі строками nk, nk > n0. Відповідно tj = n0nj; tk = nkn0.

Приклад 11. Вирішено консолідувати 3 платежі зі строками погашення 15.05, 15.06, 15.08, суми платежів — відповідно 10, 20, 15 тис. грн. Строк консолідованого платежу — 01.08. За умовами задачі S1 = 10, S2 = 20,
S3 = 15, t1 = 78, t2 = 47, t3 = 14 днів. Враховуючи, що ставка простих відсотків дорівнює 8 %, отримаємо:

тис. грн.

Якщо термін об’єднаного платежу менший за терміни консолідованих платежів, тобто виконується умова, що n0 < n1, n2, ..., nk, тоді для простої ставки відсотків:

, де tk = nk – n0;

для простої облікової ставки:

;

для складної ставки відсотків:

;

для складної облікової ставки:

.

Наступна задача полягає у визначенні строку консолідованого платежу при заданій його сумі. Запишемо рівняння еквівалентності на початкову дату:

.

Позначимо сучасну величину консолідованих платежів як P0:

.

Тоді

Приклад 12. Платежі в розмірі 10, 20, 15 тис. грн. виплачуються через 50, 80, 150 днів після деякої дати. Вирішено замінити їх одним платежем, припустимо, 50 тис. грн. Звичайно, що таке розв’язання ситуації передбачає деяку відстрочку. Знайдемо строк консолідованого платежу за умови, що і = 10 %. За умовами задачі

тис. грн.

Отже,

року, або 301 день.

Основні категорії та поняття


Еквівалентні ставки

Еквівалентні платежі

Консолідація платежів

Запитання і завдання для самоконтролю


1. Які ставки називаються еквівалентними?

2. У чому полягає принцип фінансової еквівалентності?

3. Що таке середня відсоткова ставка?

4. Коли проста ставка відсотків еквівалентна простій обліковій ставці?

5. Що ви розумієте під еквівалентними відсотковими ставками:

а) ці ставки дорівнюють одна одній;

б) різнорідні відсоткові ставки призводять до однієї і тієї ж нарощеної суми;

в) різнорідні відсоткові ставки за конкретних умов угод призводять до одного фінансового результату;

г) різнорідні відсоткові та облікові ставки приводять до однієї і тієї ж сучасної величини?

6. Які з наступних формул є формулами еквівалентності простих і складних відсоткових ставок:

а) б)

в) ; г)

7. Які з наступних формул є формулами еквівалентності простої ставки відсотків і облікової ставки:

а) б)

в) г)

8. Що передбачає фінансова еквівалентність зобов’язань:

а) незмінність фінансових сторін до зміни умов;

б) незмінність фінансових сторін до і після зміни умов;

в) за цим принципом повинні робитися зміни умов угод;

г) усе викладене?

9. Система еквівалентних ставок складається з таких елементів:

а) еквівалентність простих ставок;

б) еквівалентність простих і складних ставок;

в) еквівалентність складних, дискретних і безперервних ставок;

г) усе викладене.

10. Якщо відсоткові ставки змінюються з часом, то еквівалентні ставки визначаються як:

а) рівняння взятих попарно відповідних співмножників нарощення;

б)

в) еквівалентність середня арифметична зважена;

г) еквівалентність середня ставка, що приносить за деякий період такий самий дохід.

11. На чому базується формула еквівалентності ставок:

а) на рівності взятих попарно відповідних дисконтних множників і множників нарощення;

б) на рівнянні взятих попарно відповідних множників нарощеня;

в) на зіставленні одна з одною сучасних величин;

г) на зіставленні одна з одною нарощених величин?

12. Якщо нарахування відсотків відбувається на підставі послідовних фіксованих ставок складних відсотків, то яким чином визначається еквівалентна їм ставка:

а) як середня геометрична проста;

б) як середня геометрична зважена;

в) як середня арифметична зважена;

г) як середня геометрична зважена без одиниці?

13. Строк сплати за векселем 150 днів. Операція обліку принесла 30 % доходу. Визначити облікову ставку векселя.

14. Вексель враховано за ставкою 10 % річних (часова база 360 днів). Строк сплати за векселем настає через 200 днів. Визначити ефективність даної угоди.

15. Визначити, яку величину має складати номінальна ставка відсотків, якщо сума позички повинна подвоїтися за 4 роки, а відсотки нараховуються за кожні півроку.

16. Строк сплати за векселем 150 днів. Вексель врахований за ставкою 30 %. Визначити дохідність даної операції.

17. Визначити рівень простої відсоткової ставки зі строком 5 років, якщо кредит одержано під 20 % річних.






Разместите кнопку на своём сайте:
Документы




База данных защищена авторским правом ©kiev.convdocs.org 2000-2013
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
обратиться к администрации
Похожие:
Документы